Robertas Bliškevičius w latach 1980 – 1984 studiował na „J.Tallat-Kelpša College of Music” (dziś znany jako Konserwatorium Wileńskie). Jeszcze jako student występował jako solista z orkiestrą symfoniczną swojej szkoły na Litwie i Ukrainie. W latach  1986 – 1991 studiował w Litewskiej Akademii Muzycznej i Teatralnej  pod kierunkiem prof. A.Pšibilskienė i prof. D.Katkus. W czasie studiów R.Bliškevičius koncertował jako solista i członek różnych zespołów kameralnych. Nagrywał także utwory wielu młodych kompozytorów.
W latach 1988 – 2004 pracował w Litewskiej Państwowej Orkiestrze Symfonicznej. W 1994 roku wraz z D. Stabinskas założył Wileńską Orkiestrę Kameralną  (obecnie Orkiestra Kameralna im. Św. Krzysztofa), z którą występował również jako solista. W 1998 roku założył Chordos kwartet smyczkowy, w którym gra do dziś, jest również jego dyrektorem artystycznym oraz menedżerem. Z kwartetem Chordos występował na Litwie, w Polsce, na Łotwie, w Norwegii, Szwecji, Niemczech, Rosji, Francji, Wielkiej Brytanii, Austrii, Turcji, Belgii i Czechach.
Od roku 1999 bierze udział w różnych projektach związanych z muzyką dawną. Z kwartetem smyczkowym Chordos brał udział w kursach mistrzowskich muzyki dawnej A. Hartingera (Austria). W 2006 roku stał się stałym członkiem zespołu muzyki dawnej „Brevis consort” oraz „Baltic State  Baroque Orchestra”. Jest także autorem artykułów na temat wykonawstwa muzyki dawnej, które zostały opublikowane w czasopiśmie muzycznym „Muzikos barai”.
W latach 2009 – 2011 uczył się gry na violi da gamba u D. Stabinskas.
Obecnie R. Bliškevičius pracuje jako nauczyciel gry na altówce oraz skrzypcach, muzyki kameralnej i kwartetu smyczkowego w Akademii Muzycznej Uniwersytetu Witolda Wielkiego (lit. Vytauto Didžiojo Universitetas). Od 2006  Robertas Bliškevičius jest dyrektorem artystycznym festiwalu muzyki kameralnej „Muzikos ruduo”, który odbywa się na Litwie, w Polsce i Rosji. Od 2010 do 2014 był dyrektorem artystycznym i dyrygentem Orkiestry Kameralnej Uniwersytetu Witolda Wielkiego, którą sam założył. Natomiast od 2014 roku jest dyrektorem artystycznym i dyrygentem Orkiestry Kameralnej  „Modus”, także przez siebie założoną.
Od 2011 Robertas Bliškevičius jest dyrektorem artystycznym i założycielem Zespołu Muzyki Dawnej „Arcadia consort”, gdzie gra na violi da gamba, skrzypcach i altówce.